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Exposé Bourbaki 1058 : Mesures stationnaires sur les espaces homogènes d'après Yves Benoist et Jean-François Quint

Exposé Bourbaki 1058 : Mesures stationnaires sur les espaces homogènes

François LEDRAPPIER
Exposé Bourbaki 1058 : Mesures stationnaires sur les espaces homogènes d'après Yves Benoist et Jean-François Quint
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  • Année : 2013
  • Tome : 352
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 22E40, 37D40, 60B99
  • Pages : 535-556

Soient $G$ un groupe de Lie réel, $\Lambda $ un sous-groupe discret tel que le quotient $G/\Lambda $ a un volume fini, $\mu$~une mesure de probabilité sur $G$ à support  compact et $\Gamma_\mu$ le sous-groupe de $G$ engendré par le support de $\mu$. On suppose que  l'adhérence de Zariski de ${\textrm {Ad}}(\Gamma )$ est un groupe semi-simple sans facteur compact. Yves Benoist et Jean-François Quint  ont classifié  les mesures de probabilité sur $G/ \Gamma$ qui sont  extrémales parmi les probabilités stationnaires sous l'action de $\mu$~: ce ne peuvent être que des volumes (normalisés) sur des  orbites  fermées, de volume fini, de sous-groupes de $G$.  L'exemple de deux matrices de $GL(d, \mathbb Z)$ agissant sur $\mathbb T^d$ entre souvent  dans ce cadre et est déjà significatif.

Consider a real Lie group $G$,  a lattice $\Lambda $ in $G$  and $\mu$ a probability on $G$ with compact support.  Let $\Gamma $ be the group generated by the support of $\mu $.  We assume that the Zariski closure of Ad($\Gamma $) is  semisimple without compact factor. Yves Benoist and  Jean-Fran\c cois Quint classified the probability measures  on $G / \Gamma $ that are extremal among the invariant   measures under convolution by $\mu$: these probability  measures  have to be the normalized volume  on a finite  volume closed orbit of  some closed subgroup of $G$.  One typical example is  the action of two matrices of  $SL(n, \mathbb Z)$ on the torus $\mathbb T^n $.

Groupes de Lie, mesures stationnaires, espaces homogènes, marches aléatoires
Lie groups, stationary measures, homogeneous spaces, random walks

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