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Espaces de modules de tores plats et fonctions hypergéométriques elliptiques

Moduli spaces of flat tori and elliptic hypergeometric functions

Sélim GHAZOUANI, Luc PIRIO
Espaces de modules de tores plats et fonctions hypergéométriques elliptiques
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  • Année : 2020
  • Tome : 164
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 32G15, 57M50, 58D27, 53C29, 14K25, 55N25, 33C70, 34M35
  • Nb. de pages : viii + 198
  • ISBN : 978-2-85629-922-7
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.472

En genre 1, nous rendons explicites certaines constructions de Veech sur les surfaces plates et généralisons des résultats géométriques de Thurston sur les espaces de modules de sphères plates ainsi que des résultats équivalents de Deligne et Mostow, d’une nature analytico-cohomologique, qui concernent la monodromie des fonctions hypergéométriques d’Appell-Lauricella.

Dans un papier jumeau, nous reprenions l’approche de Thurston et étudiions les espaces de modules de tores plats avec des singularités coniques et à l’holonomie prescrite via des méthodes géométriques obtenues au moyen d’opérations de chirurgie faites sur les surfaces plates considérées. Dans le présent mémoire, nous étudions les même objets mais en utilisant des méthodes analytiques et cohomologiques, davantage dans l’esprit de l’article de Deligne et Mostow.

Notre point de départ est une formule explicite pour les métriques plates avec des singularités coniques sur les courbes elliptiques, en termes de fonctions thêta. On en déduit une description explicite du feuilletage de Veech: au niveau de l’espace de Torelli des courbes elliptiques avec $n$ points marqués, il est défini par une intégrale première affine explicite. Cela nous permet de déterminer exactement quelles sont les feuilles du feuilletage de Veech qui sont des sous-variétés fermées de l’espace de module $\mathscr{M}_{1,n}$  des courbes elliptiques avec $n$ points marqués. Nous donnons aussi une expression locale explicite, en termes d’intégrales hypergéométriques elliptiques, de l’application de Veech qui permet de définir une structure hyperbolique complexe sur une feuille donnée. 

On se concentre alors sur le cas $ n=2$ : dans cette situation, le feuilletage de Veech ne dépend pas des valeurs des angles coniques des tores plats considérés. De plus, une feuille qui est une sous-variété fermée de ${\mathscr M}_{1,2}$  est en fait algébrique et isomorphe à une courbe modulaire $ Y_1(N)$ pour un certain entier $N\geq 2$. Dans le cas particulier considéré, les feuilles du feuilletage de Veech sont des $\mathbb{C} \mathbb{H}^1$-courbes. En spécialisant certains résultats de Mano et Watanabe, nous rendons explicite l’équation différentielle Schwarzienne que satisfait la $ \mathbb C\mathbb H^1$-développante d’une feuille et utilisons cela pour établir que les complétions métriques des feuilles algébriques sont des conifoldes hyperboliques complexes qui sont obtenues en rajoutant à $ Y_1(N)$ certains de ses cusps. De plus, nous calculons explicitement l’angle conifolde en chaque cusp $ \mathfrak c\in X_1(N)$,  cet angle étant nul (i.e., $ \mathfrak c$ est un cusp au sens ordinaire) exactement quand il n’appartient pas à la complétion métrique de la feuille algébrique considérée.

Dans le dernier chapitre de ce mémoire, nous discutons de plusieurs aspects des objets considérés auparavant, tels que: certains cas particuliers qui sont explicités encore davantage, certains liens avec les fonctions hypergéométriques classiques dans les cas les plus simples. Nous expliquons comment calculer explicitement la $ \mathbb C\mathbb H^1$-holonomie d’une feuille algébrique donnée, ce qui est important en vue de déterminer quand l’image d’une telle holonomie est un réseau de $ {\rm Aut}(\mathbb C\mathbb H^1) \simeq {\rm PSL}(2,\mathbb R)$. Enfin, nous calculons le volume hyperbolique de certaines feuilles algébriques du feuilletage de Veech et utilisons cela pour obtenir une formule explicite pour le volume de Veech de l’espace de module $ \mathscr M_{1,2}$. En particulier, nous montrons que ce volume est fini, comme conjecturé par Veech. 
  
Deux appendices viennent terminer ce mémoire. Le premier consiste en une introduction courte et élémentaire à la notion de $ \mathbb C\mathbb H^1$-conifolde. Le second appendice est dévolu à l’étude de la connexion de Gauss-Manin associée à notre problème: on en donne tout d’abord un traitement général détaillé avant de considérer plus spécifiquement le cas des courbes elliptiques $n$-épointées, cas qui est rendu complètement explicite lorsque $ n=2$.

In the genus one case, we make explicit some constructions of Veech on flat surfaces and generalize some geometric results of Thurston  about moduli spaces of flat spheres as well as some equivalent ones but of an analytico-cohomological nature of Deligne and Mostow, on the monodromy of Appell-Lauricella hypergeometric functions. 

In a dizygotic twin paper, we follow Thurston’s approach and study moduli spaces of flat tori with cone singularities and prescribed holonomy by means of geometrical methods relying on surgeries on flat surfaces. In the present memoir, we study the same objects making use of analytical and cohomological methods, more in the spirit of Deligne-Mostow’s paper. 

Our starting point is an explicit formula for flat metrics with cone singularities on elliptic curves, in terms of theta functions. From this, we deduce an explicit description of Veech’s foliation: at the level of the Torelli space of $n$ marked elliptic curves, it is given by an explicit affine first integral. From the preceding result, one determines exactly which leaves of Veech’s foliation are closed subvarieties of the moduli space $ {\mathscr M}_{1,n}$  of $n$-marked elliptic curves. We also give a local explicit expression, in terms of hypergeometric elliptic integrals, for the Veech map by means of which is defined the complex hyperbolic structure of a leaf. 

Then we focus on the $n=2$ case: in this situation, Veech’s foliation does not depend on the values of the cone angles of the flat tori considered. Moreover, a leaf which is a closed subvariety of ${\mathscr M}_{1,2}$  is actually algebraic and is isomorphic to a modular curve $ Y_1(N)$ for a certain integer $N\geq 2$. In the considered situation, the leaves of Veech’s foliation are $\mathbb C\mathbb H^1$-curves. By specializing some results of Mano and Watanabe, we make explicit the Schwarzian differential equation satisfied by the $\mathbb C\mathbb H^1$-developing map of any leaf and use this to prove that the metric completions of the algebraic ones are complex hyperbolic conifolds which are obtained by adding some of its cusps to $ Y_1(N)$. Furthermore, we explicitly compute the conifold angle at any cusp $ \mathfrak c\in X_1(N)$, the latter being 0 (i.e., $\mathfrak{c}$ is a usual cusp) exactly when it does not belong to the metric completion of the considered algebraic leaf. 

In the last chapter of this memoir, we discuss various aspects of the objects previously considered, such as: some particular cases that we make explicit, some links with classical hypergeometric functions in the simplest cases. We explain how to explicitly compute the $ \mathbb C\mathbb H^1$-holonomy of any given algebraic leaf, which is important in order to determine when the image of such a holonomy is a lattice in $ {\rm Aut}(\mathbb C\mathbb H^1) \simeq {\rm PSL}(2,\mathbb R)$. Finally, we compute the hyperbolic volumes of some algebraic leaves of Veech’s foliation and we use this to give an explicit formula for Veech’s volume of the moduli space $ \mathscr M_{1,2}$. In particular, we show that this volume is finite, as conjectured by Veech. 
 
The memoir ends with two appendices. The first consists in a short and easy introduction to the notion of $ \mathbb C\mathbb H^1$-conifold. The second one is devoted to the Gauss-Manin connection associated to our problem: we first give a general and detailed abstract treatment then we consider the specific case of $n$-punctured elliptic curves, which is made completely explicit when $ n=2$.

Espaces de modules de tores plats, feuilletage de Veech, feuilles algébriques, structure hyperbolique complexe, application développante, intégrales hypergéométriques elliptiques, équations différentielles fuchsiennes
Moduli spaces of flat tori, Veech’s foliation, algebraic leaves, complex hyperbolic structure, developing map, elliptic hypergeometric integrals, Fuchsian differential equations
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