SMF

Percolation sur des quadrangulations uniformes et SLE$_6$ sur la quantité quantique de Liouville de paramètre $\sqrt{8/3}$

Percolation on uniform quadrangulations and SLE$_6$ on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity

Ewain GWYNNE & Jason MILLER
Percolation sur des quadrangulations uniformes et SLE$_6$ sur la quantité quantique de Liouville de paramètre $\sqrt{8/3}$
  • Consulter un extrait
  • Année : 2021
  • Tome : 429
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60K35, 60F17, 60J67, 60G57
  • Nb. de pages : viii+242
  • ISBN : 978-2-85629-947-0
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1150

Nous montrons que la courbe d'exploration de la percolation critique ($p=3/4$) sur les faces d'une quadrangulation aléatoire uniforme avec bord simple converge dans la limite d'échelle vers une certaine courbe sur un certain espace métrique, à savoir un SLE$_6$ tracé sur une surface quantique au sens de la gravité quantique de Liouville de paramètre  $\sqrt {8/3}$, qui est aussi appelée un disque brownien. La topologie considérée pour cette convergence est l'analogue naturel de la topologie de Gromov-Hausdorff lorsque l'on considère des espaces métriques décorés par des courbes. Nous obtenons également des résultats similaires pour la percolation par sites sur des triangulations uniformes avec bord, et nos preuves sont aussi applicables  à d'autres modèles de percolation sur des cartes planaires.

Notre preuve consiste dans un premier temps à prouver la tension de nos familles de cartes planaires décorées, puis dans un second temps, à montrer que toute limite possible le long d'une sous-suite satisfait certaines propriétés, dont nous montrons ensuite qu'elles caractérisent la loi du SLE$_6$ sur la surface quantique de Liouville de paramètre $\sqrt {8/3}$ considérée.

Dans le premier article de ce volume, nous présentons la partie discrète de cette preuve dans laquelle il est question de percolation sur les cartes planaires, où nous établissons la tension et montrons que toute limite d'échelle satisfait certaines propriétés. Dans le second article, où tout se déroule dans le continu, nous montrons que la loi du SLE$_6$ sur une surface quantique de Liouville de paramètre $\sqrt{8/3}$ est complètement charactérisée par ces propriétés, ce qui complète la preuve du résultat principal. Nous y établissons également des caractérisations analogues pour SLE$_\kappa$ sur des surfaces quantiques de paramètre $\sqrt {\kappa}$ pour tout $\kappa \in (4,8)$, qui pourront s'avérer utiles dans l'étude de modèles de cartes planaires décorées par d'autres modèles de la mécanique statistique.

We show that the percolation exploration path for critical ($p=3/4$) face percolation on a uniform random quadrangulation with simple boundary converges in the scaling limit to a certain curve-decorated metric measure space. Explicitly, the limiting object is SLE$_6$ on a $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity (LQG) disk, or equivalently SLE$_6$ on the  Brownian disk. The topology of convergence is the natural analog of the Gromov-Hausdorff topology for curve-decorated metric measure spaces. We also obtain analogous results for site percolation on a uniform triangulation with simple boundary. We expect that our techniques can be generalized to other variants of percolation on uniform random planar maps.

Our proof proceeds by showing tightness of our percolation-decorated random quadrangulation, then showing that every possible subsequential limit must be SLE$_6$ on $\sqrt{8/3}$-LQG. To carry out this second step, we prove that SLE$_6$ on a $\sqrt{8/3}$-LQG surface is uniquely characterized by a list of simple properties, then check that the subsequential limit must satisfy these properties. The discrete part of the argument (involving random planar maps) is carried out in the first article of this volume, in which we show tightness and check the hypotheses of the characterization theorem. The continuum part of the argument (involving SLE and LQG) is carried out in the second article, in which we prove the characterization theorem for SLE$_6$ on $\sqrt{8/3}$-LQG. We also establish analogous characterization theorems for SLE$_\kappa$ on $\gamma$-LQG surfaces for any $\kappa \in (4,8)$ and $\gamma = 4/\sqrt\kappa \in (\sqrt 2 , 2)$, which we expect may be useful for proving scaling limit results for other statistical mechanics models on random planar maps.

Cartes planaires aléatoires, champ libre Gaussien, charactérisation markovienne, demi-plan Brownien, disque brownien, disque brownien, gravité quantique de Liouville, limite d'échelle, percolation, processus d'épluchage, processus SLE, propriété de Markov, quadrangulations aléatoires uniformes
Brownian disk, Brownian half-plane, Gaussian free field, Liouville quantum gravity, Markov property, Markovian characterization, peeling, percolation, random planar maps, random quadrangulation, scaling limit, Schramm-Loewner evolution
Prix Papier
Adhérent 35 €
Prix public 50 €
Quantité
- +