Soit $\mathfrak{P}$ un idéal premier de l'anneau des entiers d'un corps de nombres $K$. On donne une définition générale de fraction continue  $\mathfrak{P}$-adique qui inclut les définitions classiques de fractions continues $p$-adiques. On présente des conditions nécessaires et suffisantes sur $K$ qui assurent que pour  tous idéaux  $\mathfrak{P}$ sauf un nombre fini, chaque élément   $\alpha\in K$ ait une expansion finie en fraction continue  $\mathfrak{P}$ -adique. Ces résultats abordent dans le contexte $p$-adique un problème  qui avait été posé par Rosen dans le cas archimédien.