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Exposé Bourbaki 1188 : Plongement de distorsion moyenne, trous spectraux non-linéaires et un théorème de John métrique [d'après Assaf Naor]

Exposé Bourbaki 1188 : Average distortion embeddings, nonlinear spectral gaps, and a metric John theorem [after Assaf Naor]

Alexandros ESKENAZIS
Exposé Bourbaki 1188 : Plongement de distorsion moyenne, trous spectraux non-linéaires et un théorème de John métrique [d'après Assaf Naor]
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  • Année : 2022
  • Tome : 438
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 30L05
  • Pages : 295-333
  • DOI : 10.24033/ast.1189

Dans cet exposé nous discuterons de quelques applications géométriques de la théorie des trous spectraux non-linéaires. Plus remarquablement, nous présenterons une démonstration d'un théorème profond de Naor affirmant que tout espace normé de dimension $d$ muni de la distance définie par la racine carrée de la norme se plonge dans un espace de Hilbert avec une distorsion quadratique moyenne $O(\sqrt{\log d})$. Comme conséquence, nous déduirons qu'un graphe expanseur à $n$ sommets ne peut admettre un plongement de distorsion moyenne bornée dans un espace normé de dimension $n^{o(1)}$.

In this lecture we shall discuss some geometric applications of the theory of nonlinear spectral gaps. Most notably, we will present a proof of a deep theorem of Naor asserting that for any norm $\|\cdot\|$ on $\mathbf{R}^d$, the metric space $(\mathbf{R}^d, \sqrt{\|x-y\|})$ embeds into Hilbert space with quadratic average distortion $O(\sqrt{\log d})$. As a consequence, we will deduce that any $n$-vertex expander graph does not admit a $O(1)$-average distortion embedding into any $n^{o(1)}$-dimensional normed space.

Plongement de distortion moyenne, trous spectral non-linéaire, théorème de John, graphe expanseur
Average distortion embedding, nonlinear spectral gap, John’s theorem, expander graph

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