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Relation de Jacquet-Langlands et filtration de Serre modulo $p$ via la géometrie des variétés modulaires de Hilbert : Épissage et découpage

A mod $p$ Jacquet-Langlands relation and Serre filtration via the geometry of Hilbert modular varieties: Splicing and dicing

Fred DIAMOND, Payman KASSAEI, Shu SASAKI
Relation de Jacquet-Langlands et filtration de Serre modulo $p$ via la géometrie des variétés modulaires de Hilbert : Épissage et découpage
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  • Année : 2023
  • Tome : 439
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G18, 11F33, 11F41, 14G35
  • Nb. de pages : VIII+115
  • ISBN : 978-2-85629-969-2
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1198

On considère les variétés modulaires de Hilbert en caractéristique $ p$ de niveau Iwahori en $ p$, et on construit une relation géométrique de Jacquet-Langlands qui montre que les composantes irréductibles sont isomorphes à des produits de fibrés projectifs sur des variétés de Shimura quaternioniques de niveau premier à $ p$.  On l’utilise pour établir une relation entre les formes modulaires de Hilbert et quaternioniques modulo $ p$ qui reflète la théorie des représentations de $ \mathrm{GL}_2$ en caractéristique $ p$, et qui généralise un résultat de Serre pour les formes modulaires classiques. Enfin, on étudie les fibres de l’application naturelle vers la variété de niveau premier à $ p$, et on démontre un résultat d’annulation de cohomologie qui est utilisé dans la construction des représentations galoisiennes associées aux formes modulaires de Hilbert modulo $ p$.

We consider Hilbert modular varieties in characteristic $ p$ with Iwahori level at $ p$ and construct a geometric Jacquet-Langlands relation showing that the irreducible components are isomorphic to products of projective bundles over quaternionic Shimura varieties of level prime to $ p$. We use this to establish a relation between mod $ p$ Hilbert and quaternionic modular forms that reflects the representation theory of $ \mathrm{GL}_2$ in characteristic $ p$ and generalizes a result of Serre for classical modular forms.  Finally we study the fibers of the degeneracy map to level prime to $ p$ and prove a  cohomological vanishing result that is used to associate Galois representations to mod $ p$ Hilbert modular forms.

Variétés modulaires de Hilbert, formes modulaires de Hilbert, correspondance de Jacquet-Langlands
Hilbert modular varieties, Hilbert modular forms, Jacquet-Langlands correspondence

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