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Groupes alternés dynamiques, stabilité, propriété Gamma, et moyennabilité intérieure

Dynamical alternating groups, stability, property Gamma, and inner amenability

David KERR & Robin TUCKER-DROB
Groupes alternés dynamiques, stabilité, propriété Gamma, et moyennabilité intérieure
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 1
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 20E32, 37A20, 37B05, 37B40, 46L05, 46L10
  • Pages : 59-90
  • DOI : 10.24033/asens.2528

Nous montrons que le groupe alterné d'une action topologiquement libre d'un groupe infini dénombrable $\Gamma$ sur un espace de Cantor a tous ses nombres de Betti $\ell^2$ nuls et, quand $\Gamma$ est moyennable, est stable au sens de Jones et Schmidt et possède la propriété Gamma (et en particulier est intérieurement moyennable). De plus, dans le cadre de $\Gamma$ moyennable, nous prouvons qu'il y a de nombreux exemples de tels groupes alternés qui sont simples, de type fini, et C$^*$-simples. L'outil que nous utilisons pour distinguer ces exemples est une version topologique d'un résultat d'Austin sur l'invariance de l'entropie mesurée par équivalence orbitale bornée.

We prove that the alternating group of a topologically free action of a countably infinite group $\Gamma$ on the Cantor set has the property that all of its $\ell^2$ Betti numbers vanish and, in the case that $\Gamma$ is amenable, is stable in the sense of Jones and Schmidt and has property Gamma (and in particular is inner amenable). We show moreover in the realm of amenable $\Gamma$ that there are many such alternating groups which are simple, finitely generated, and C$^*$-simple. The device for establishing nonisomorphism among these examples is a topological version of Austin's result on the invariance of measure entropy under bounded orbit equivalence.

Groupes alternés dynamiques, stabilité, propriété Gamma, moyennabilité intérieure
Dynamical alternating groups, stability, property Gamma, inner amenability

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