Soient $F$ un corps local non-archimédien et $\mathbb X$ un ${\mathfrak o}_F$-module formel de hauteur $n$ sur $\bar {\mathbb F}_p$. Les schémas de déformations de $\mathbb X$ munies de structures de niveau de Drinfeld fournissent un système projectif d'espaces analytiques rigides $(M_K)_K$, où $K$ parcourt l'ensemble des sous-groupes compacts ouverts de $G=GL_n(F)$. La limite inductive $H^*_c$ des espaces $H^*_c(M_K \otimes \bar {F}^\wedge ,{\mathbb Q}_\ell )$ ($\ell \neq p$) constitue une représentation virtuelle lisse du groupe $G \times B^\times $, $B$ étant une algèbre à division sur $F$ d'invariant ${1}/{n}$. Si $\pi $ est une représentation supercuspidale de $G$, les travaux de Boyer et Harris-Taylor impliquent que dans le groupe de Grothendieck des représentations admissibles de $B^\times $ on a la relation $\mathrm {Hom}_G(H^*_c,\pi ) = n \cdot (-1)^{n-1}\mathcal {J\!L}(\pi )$, $\mathcal {J\!L}$ désignant la correspondance de Jacquet-Langlands. Dans cet article nous proposons une approche de ce resultat fondé sur une formule des traces à la Lefschetz conjecturale, et nous calculons la contribution venant des points fixes.