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Les équations de Navier-Stokes 3D vues comme une perturbation des équations de Navier-Stokes 2D

The 3D Navier-Stokes equations seen as a perturbation of the 2D Navier-Stokes equations

Dragoş Iftimie
Les équations de Navier-Stokes 3D vues comme une perturbation des équations de Navier-Stokes 2D
     
                
  • Année : 1999
  • Fascicule : 4
  • Tome : 127
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35~Q~30, 76~D~05, 46~E~35, 35~S~50, 35~B~65, 35~K~55
  • Pages : 473-517
  • DOI : 10.24033/bsmf.2358
On considère les équations de Navier-Stokes périodiques 3D et on prend la donnée initiale de la forme $u_0=v_0+w_0$, où $v_0$ ne dépend pas de la troisième variable. On démontre que, afin d'obtenir l'existence et l'unicité globale, il suffit de supposer que $\|w_0\|_X \exp (\|v_0\|^2_{L^2(\mathbb {T}^2)}/{C\nu ^2})\leq C\nu $, où $X$ est un espace avec une régularité $H^{\delta }$ dans les deux premières directions et ${H}^{1/2 -\delta }$ dans la troisième direction ou, si $\delta =0$, un espace qui est $L^2$ dans les deux premières directions et $B^{1/2 }_{2,1}$ dans la troisième direction. On considère aussi le même système sur le tore avec une épaisseur $\varepsilon $ dans la troisième direction et on étudie la dépendance de $\varepsilon $ de la constante $C$ ci-dessus. On trouve que, si $v_0$ est la projection de la donnée initiale sur l'espace des fonctions indépendantes de la troisième variable, alors la constante $C$ peut être choisie indépendante de $\varepsilon $.
We consider the periodic 3D Navier-Stokes equations and we take the initial data of the form $u_0=v_0+w_0$, where $v_0$ does not depend on the third variable. We prove that, in order to obtain global existence and uniqueness, it suffices to assume that $\|w_0\|_X \exp (\|v_0\|^2_{L^2(\mathbb {T}^2)}/{C\nu ^2})\leq C\nu $, where $X$ is a space with a regularity $H^{\delta }$ in the first two directions and $H^{1/2 -\delta }$ in the third direction or, if $\delta =0$, a space which is $L^2$ in the first two directions and $B^{1/2 }_{2,1}$ in the third direction. We also consider the same equations on the torus with the thickness in the third direction equal to $\varepsilon $ and we study the dependence on $\varepsilon $ of the constant $C$ above. We show that if $v_0$ is the projection of the initial data on the space of functions independent of the third variable, then the constant $C$ can be chosen independent of $\varepsilon $.
Navier-Stokes equations, thin domain, anisotropic dyadic decomposition, anisotropic Sobolev space


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