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Sur quelques représentations potentiellement cristallines de $\operatorname {GL}_2({\mathbf {Q}}_p)$

On some potentially crystalline representations of $\operatorname {GL}_2({\mathbf {Q}}_p)$

Laurent BERGER, Christophe BREUIL
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  • Année : 2010
  • Tome : 330
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11F
  • Pages : 155-211
  • DOI : 10.24033/ast.879

On associe aux représentations $p$-adiques irréductibles de $\operatorname {Gal}(\overline {\mathbf {Q}}_p/{\mathbf {Q}}_p)$ de dimension $2$ devenant cristallines sur une extension abélienne de ${\mathbf {Q}}_p$ des espaces de Banach $p$-adiques $\operatorname {B}(V)$ munis d'une action linéaire continue unitaire de $\operatorname {GL}_2({\mathbf {Q}}_p)$. Lorsque $V$ est de plus $\varphi $-semi-simple, on utilise le $(\varphi ,\Gamma )$-module et le module de Wach de $V$ pour montrer que la représentation $\operatorname {B}(V)$ est non nulle, topologiquement irréductible et admissible.

To each $2$-dimensional irreducible $p$-adic representation of $\operatorname {Gal}(\overline {\mathbf {Q}}_p/{\mathbf {Q}}_p)$ which becomes crystalline over an abelian extension of ${\mathbf {Q}}_p$, we associate a Banach space $\operatorname {B}(V)$ endowed with a linear continuous unitary action of $\operatorname {GL}_2({\mathbf {Q}}_p)$. When $V$ is moreover $\varphi $-semi-simple, we use the $(\varphi ,\Gamma )$-module and the Wach module associated to $V$ to show that the representation $\operatorname {B}(V)$ is nonzero, topologically irreducible and admissible.

Représentations galoisiennes cristabélines, correspondance de Langlands $p$-adique, $(\varphi ,\Gamma )$-modules
Crystabeline Galois representations, $p$-adic Langlands correspondence, $(\varphi ,\Gamma )$-modules