Soit $L$ une extension finie de $\mathbf {Q}_p$. Nous construisons une correspondance (de Langlands locale $p$-adique) associant à toute $L$-représentation $V$ de $\mathrm {G}_{\mathbf {Q}_p}$, irréductible de dimension $2$, une représentation ${\boldsymbol \Pi }(V)$ de ${\bf GL}_2(\mathbf {Q}_p)$, unitaire, admissible, et irréductible. Nous identifions les vecteurs localement analytiques et localement algébriques de ${\boldsymbol \Pi }(V)$, ce qui nous permet de montrer que cette correspondance encode la correspondance de Langlands locale ique (pour ${\bf GL}_2(\mathbf {Q}_p)$).