On montre que le foncteur de Colmez, entre les représentations de $\mathrm {GL}_2(\mathbb {Q}_p)$ et celles de $G_{\mathbb {Q}_p}$, produit essentiellement toutes les représentations bidimensionnelles de $G_{\mathbb {Q}_p}$. Notre méthode compare les théories de déformation des deux types de représentations : un calcul de groupe $\operatorname {Ext}$ effectué par Colmez implique que l'espace de déformation pour les représentations de $\mathrm {GL}_2(\mathbb {Q}_p)$ est fermé dans celui des $G_{\mathbb {Q}_p}$-représentations. Une version locale de l'argument « infinite fern » de Gouvêa-Mazur montre que ce sous-espace fermé est également dense.