Soit $V$ l'anneau des entiers d'une extension finie de $\mathbb Q_p$ et soit $X$ une courbe propre sur $V$ à fibre spéciale semistable et à fibre générique lisse. Dans cet article nous décrivons explicitement les opérateurs de Frobenius et de monodromie sur la cohomologie log cristalline de $X$ à valeurs dans un log $F$-isocristal régulier, en termes d'intégration $p$-adique. Nous proposons une version pour les courbes ouvertes et en guise d'application nous prouvons que deux $\mathcal L$-invariants définis de façon différente, attachés à une forme modulaire nouvelle multiplicative en $p$, sont égaux.