Le principe du maximum est un outil simple mais puissant pour étudier des problèmes géométriques qui se formulent à l'aide d'une équation scalaire aux dérivées partielles elliptique ou parabolique. Des formules à la Bochner permettent également d'étudier des systèmes d'équations aux dérivées partielles. Cet outil avait par exemple été utilisé par S-T. Yau et T. Aubin dans la résolution du problème de Calabi pour obtenir des estimées a priori des solutions d'une équation de Monge-Ampère. Récemment des techniques de doublement de variables ont permis la résolution de deux problèmes célèbres : la conjecture de Lawson à propos des $2$-tores plongés minimalement dans la sphère $\mathbb {S}^3$ par S. Brendle et la conjecture de l'écart fondamental qui permet une minoration optimale de l'écart entre les deux premières valeurs propres d'un domaine convexe de l'espace euclidien par B. Andrews et J. Clutterbuck. On veut donc se servir de la présentation de la preuve de ces deux résultats pour illustrer l'efficacité et l'élégance de ce nouvel outil.