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Anneaux de séries séparées et géométrie quasi-affinoïde

Rings of Separated Power Series and Quasi-Affinoid Geometry

L. LIPSHITZ, Z. ROBINSON
Anneaux de séries séparées et géométrie quasi-affinoïde
  • Année : 2000
  • Tome : 264
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 32P05, 32B05, 32B20, 32C35, 26E30, 12J25, 03C10, 13J05, 13B40
  • Nb. de pages : 177
  • ISBN : 2-85629-084-1
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.484

Les articles de ce volume présentent une théorie de la géométrie analytique rigide sur un corps ultramétrique $K$ qui généralise la théorie affinoïde ique au cas de la géométrie analytique rigide relative sur un polydisque “ouvert”. Cette théorie est basée sur l'étude algébrique des anneaux de séries convergentes $S_{m,n}$ développée dans le premier article, Rings of Separated Power Series. Les algèbres quasi-affinoïdes (les quotients $S_{m,n}/I$) partagent de nombreuses propriétés avec les algèbres affinoïdes (les quotients $T_m /I$ d'un anneau de séries strictement convergentes). Parmi les résultats principaux signalons le Nullstellensatz pour les algèbres quasi-affinoïdes $A$ ainsi que la Propriété Universelle pour une large e de sous-domaines ouverts de $\rm {Max\,} X$, les $R$-sous-domaines. Le second article, Model Completeness and Subanalytic Sets, contient des résultats sur la structure des images de familles de fonctions analytiques provenant par extension d'une famille quelconque de fonctions de $ S=\cup S_{m,n}$ satisfaisant certaines propriétés de fermeture ; par exemple $T= \cup T_m$ est une telle famille. La preuve utilise le fait que les données de Weierstrass sont définissables ainsi que le fait, témoignant de la différence entre géométrie affinoïde et quasi-affinoïde, qu'une variété quasi-affinoïde $\rm {Max}\, A$ peut généralement être recouverte par un nombre fini de sous-domaines quasi-affinoïdes disjoints, de la même façon que l'anneau de valuation $K^\circ $ est l'union de son idéal maximal $K^{\circ \circ }$ et de ses unités multiplicatives. La théorie des anneaux généralisés de fractions développée dans le premier article joue un rôle crucial. Dans le troisième article, Quasi-Affinoid Varieties, on définit la catégorie des variétés $S_{m,n}$-analytiques $X={\rm Max}\, A$ et on établit l'acyclicité des recouvrements quasi-affinoïdes. Les démonstrations emploient des résultats du premier article, notamment le fait que le foncteur $ U \mapsto {\mathcal O}_X (U)$ est un préfaisceau d'$A$-algèbres pour des $R$-sous-domaines $U$ de $X$. On utilise également le résultat d'élimination des quantificateurs obtenu dans le second article pour établir un rapport entre les recouvrements quasi-affinoïdes et les recouvrements affinoïdes, ce qui est une étape cruciale dans la démonstration du théorème d'acyclicité. Le quatrième article, A Rigid Analytic Approximation Theorem, donne un théorème d'approximation globale d'Artin entre un “hensélisé” $H_{m,n}$ d'un anneau $T_{m+n}$ de séries strictement convergentes et son complété $S_{m,n}$. Ce résultat permet de relier les propriétés algébriques des algèbres quasi-affinoïdes et affinoïdes.

The papers in this volume present a theory of rigid analytic geometry over an ultrametric field $K$ that generalizes the ical, affinoid, theory to the setting of relative rigid analytic geometry over an “open” polydisc. The theory is based on the commutative algebra of power series rings $S_{m,n}$ that is developed in the first paper in this volume, Rings of Separated Power Series. Quasi–affinoid algebras (quotients $S_{m,n}/I$) share many properties with affinoid algebras (quotients $T_m/I$ of a ring of strictly convergent power series.) Among the principal results are the Nullstellensatz for quasi–affinoid algebras $A$ and the Universal Property for a broad of open subdomains of Max $A$, the $R$–subdomains. The second paper, Model Completeness and Subanalytic Sets, obtains a structure theory for images of analytic maps based on any subcollection of $S=\cup S_{m,n}$ that satisfies certain closure properties ; for example $T=\cup T_m$. The argument exploits the existential definability of the Weierstrass data as well as a difference between affinoid and quasi–affinoid rigid analytic geometry ; namely, that a quasi–affinoid variety Max $A$ in general may be covered by finitely many disjoint quasi–affinoid subdomains, just as the valuation ring $K^\circ $ is the union of its maximal ideal $K^{\circ \circ }$ and its multiplicative units. A crucial role is played by the theory of generalized rings of fractions developed in the first paper. The third paper, Quasi–Affinoid Varieties, defines the category of $S_{m,n}$–analytic varieties $X=$ Max $A$ and establishes the acyclicity of quasi–affinoid covers. The proofs employ results from the first paper ; in particular, the fact that the assignment $U\mapsto \mathcal O_X(U)$ is a presheaf of $A$–algebras for $R$–subdomains $U$ of $X$. The quantifier elimination of the second paper is used to relate quasi–affinoid and affinoid covers, a key step in the proof of the Acyclicity Theorem. The fourth paper, A Rigid Analytic Approximation Theorem, gives a global Artin Approximation theorem between a “Henselization” $H_{m,n}$ of a ring $T_{m+n}$ of strictly convergent power series and its “completion” $S_{m,n}$. This links the algebraic properties of affinoid and quasi–affinoid algebras.

Rigid analytic geometry, Non–Archimedian analysis, Subanalytic sets, Quantifier elimination, Model Completeness, Artin approximation, Acyclicity.
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