SMF

Métriques d'Einstein asymptotiquement symétriques

Asymptotically symmetric Einstein metrics

Olivier BIQUART
Métriques d'Einstein asymptotiquement symétriques
  • Année : 2000
  • Tome : 265
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 53C25, 58G30, 53C15, 32L25
  • Nb. de pages : 115
  • ISBN : 2-85629-083-3
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.485

Cet article étudie les métriques d'Einstein asymptotiquement symétriques, ce qui signifie que leur courbure à l'infini est asymptotique à la courbure d'un espace symétrique de rang 1 de type non compact (c'est-à-dire d'un espace hyperbolique). Deux constructions de telles métriques d'Einstein sont réalisées. La première passe par l'analyse et met en correspondance les déformations d'Einstein des espaces hyperboliques complexe, quaternionien et octonionien, avec certaines métriques de Carnot-Carathéodory sur le bord à l'infini. Dans les cas quaternionien et octonionien, on obtient à l'infini des objets que j'appelle des structures de contact quaternioniennes (ou octonioniennes). La seconde construction est au contraire twistorielle : partant d'une structure de contact quaternionienne, analytique réelle, on montre qu'elle est le bord à l'infini d'une unique métrique quaternion-kählérienne (qui est en particulier d'Einstein), définie dans un voisinage de l'infini. La géométrie des structures de contact quaternioniennes est ainsi assez bien comprise, alors que les structures de contact octonioniennes restent un objet très mystérieux.

In this article, I study asymptotically symmetric Einstein metrics : asymptotically symmetric means that the curvature at infinity is asymptotic to the curvature of a rank one symmetric space of noncompact type (that is, a hyperbolic space). Two constructions of such metrics are given. The first one relies on analysis to prove that the Einstein deformations of complex, quaternionic or octonionic symmetric spaces are in 1-1 correspondence with some Carnot-Carathéodory metrics on the boundary at infinity. In the quaternionic or octonionic cases, I get new objects at infinity which I call quaternionic (or octonionic) contact structures. The second construction is twistorial : given a real analytic quaternionic contact structure, I prove that it is the boundary at infinity of a unique quaternionic-Kähler (and therefore Einstein), asymptotically symmetric metric, defined in a neighborhood of infinity. The geometry of quaternionic contact structures is studied, while octonionic contact structures remain very mysterious objects.

Métrique d'Einstein, espace symétrique de rang un, espace de Hölder à poids, structure de contact, métrique quaternion-kählérienne, espace de twisteurs.
Einstein metrics, rank one symmetric spaces, Hölder weighted spaces, contact structures, quaternionic-Kähler metrics, twistor spaces
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