SMF

Propagation des singularités dans la diffusion à trois corps

Propagation of singularities in three-body scattering

András VASY
Propagation des singularités dans la diffusion à trois corps
  • Année : 2000
  • Tome : 262
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35P25, 58G25, 81U10
  • Nb. de pages : 157
  • ISBN : 2-85629-082-5
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.482

Nous considérons une variété $X$ compacte à bord, munie d'une métrique de diffusion $g$ et d'une famille $C_i$ de sous-variétés fermées de $\partial X$ deux à deux disjointes. Ainsi, $g$ est une métrique riemannienne dans $\rm {int}(X)$ de la forme $g=x^{-4}\,dx^2+x^{-2}h$ près de $\partial X$, pour un choix convenable de fonction $x$ définissant le bord, $h$ étant un $2$-cotenseur symétrique ${\mathcal C}^\infty $ sur $X$ qui est non dégénéré en restriction à $\partial X$. Nous notons aussi $\Delta $ le laplacien (positif) de $g$, choisissons $V\in {\mathcal C}^{\infty }([X;\cup _i C_i])$, où $[X;\cup _i C_i]$ est $X$ éclaté le long des $C_i$, tel que $V$ s'annule sur le relevé de $\partial X$, et nous considérons l'opérateur $H=\Delta +V$. Les diffusions à trois corps avec potentiels ${\mathcal C}^\infty $ qui ont un développement asymptotique à l'infini (éventuellement du type de Coulomb) sont des exemples de cette situation. Nous analysons la propagation des singularités des fonctions propres généralisées de $H$ en montrant que c'est essentiellement un problème hyperbolique qui a beaucoup en commun avec les problèmes de Dirichlet et de transmission pour l'opérateur des ondes, avec néanmoins des propriétés supplémentaires dues à la présence d'états bornés des “opérateurs à deux corps". Nous montrons aussi que la relation de front d'onde de la partie libre-libre de la matrice de diffusion est donnée par le flot des géodésiques brisées à distance $\pi $.

In this paper we consider a compact manifold with boundary $X$ equipped with a scattering metric $g$ and with a collection $C_i$ of disjoint closed embedded submanifolds of $\partial X$. Thus, $g$ is a Riemannian metric in $\rm {int}(X)$ of the form $g=x^{-4}\,dx^2+x^{-2}h$ near $\partial X$ for some choice of a boundary defining function $x$, $h$ being a smooth symmetric $2$-cotensor on $X$ which is non-degenerate when restricted to $\partial X$. We also let $\Delta $ be the (positive) Laplacian of $g$, suppose that $V\in {\mathcal C}^{\infty }([X;\cup _i C_i])$ where $[X;\cup _i C_i]$ is $X$ blown up along the $C_i$, assume that $V$ vanishes at the lift of $\partial X$, and consider the operator $H=\Delta +V$. Three-body scattering with smooth potentials which have an asymptotic expansion at infinity (possibly Coulomb-type) provide the standard example of this setup. We analyze the propagation of singularities of generalized eigenfunctions of $H$, showing that this is essentially a hyperbolic problem which has much in common with the Dirichlet and transmission problems for the wave operator, though additional features arise due to the presence of bound states of the ‘two-body operators'. We also show that the wave front relation of the free-to-free part of the scattering matrix is given by the broken geodesic flow at distance $\pi $.

Propagation of singularities, 3-body scattering, scattering matrix, wave front relation, broken geodesics
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