SMF

Rayons externes á arguments rationnels de l'ensemble de Mandelbrot

Rational Parameter Rays of the Mandelbrot Set

Dierk SCHLEIKER
     
                
  • Année : 2000
  • Tome : 261
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 30C20, 30D05, 30D40
  • Pages : 405-443
  • DOI : 10.24033/ast.481

Nous présentons une nouvelle démonstration du fait que tous les rayons externes à arguments rationnels de l'ensemble de Mandelbrot aboutissent et nous relions l'argument externe d'un tel rayon à la dynamique du paramètre où le rayon aboutit. Notre démonstration est différente de celle donnée à l'origine par Douady et Hubbard et élaborée par P. Lavaurs : elle remplace des arguments analytiques par des arguments combinatoires ; elle n'utilise pas la dépendance analytique des polynômes par rapport au paramètre et peut donc être appliquée aux espaces de paramètres qui ne sont pas analytiques complexes ; la démonstration est aussi techniquement plus facile. Finalement, nous déduisons quelques corollaires sur les composantes hyperboliques de l'ensemble Mandelbrot. Chemin faisant, nous construisons des partitions du plan dynamique et de l'espace des paramètres, intéressantes en elles-mêmes, et nous interprétons l'ensemble de Mandelbrot comme un espace de paramètres symboliques contenant des kneading sequences et des adresses internes.

We give a new proof that all external rays of the Mandelbrot set at rational angles land, and of the relation between the external angle of such a ray and the dynamics at the landing point. Our proof is different from the original one, given by Douady and Hubbard and refined by P. Lavaurs, in several ways : it replaces analytic arguments by combinatorial ones ; it does not use complex analytic dependence of the polynomials with respect to parameters and can thus be made to apply for non-complex analytic parameter spaces ; this proof is also technically simpler. Finally, we derive several corollaries about hyperbolic components of the Mandelbrot set. Along the way, we introduce partitions of dynamical and parameter planes which are of independent interest, and we interpret the Mandelbrot set as a symbolic parameter space of kneading sequences and internal addresses.

Mandelbrot set, kneading sequence, internal address, external ray, parameter ray, hyperbolic component


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