On calcule, pour tous les nombres premiers $p \geq 2$, la densité de représentation locale d'une forme quadratique ternaire $Q$ sur $\mathbb{Z}_p$ dans un espace quadratique de la forme $N \bot H^r$, où $N$ est un espace quadratique de rang $4$, $H$ est le plan hyperbolique, et $r$ est un entier $\ge 0$. Notre outil principal est une formule de Katsurada. Elle est donnée par une fonction rationnelle $f_{Q,N}$ en $p^{-r}$. Nous déterminons également la dérivée de $f_{Q,N}$ et nous la relions au nombre d'intersection arithmétique de trois correspondances modulaires.