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Discrétisation de zeta-déterminants d'opérateurs de Schrödinger sur le tore

Discretisation of Schrodinger operators on torus

Laurent Chaumard
Discrétisation de zeta-déterminants d'opérateurs de Schrödinger sur le tore
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  • Année : 2006
  • Fascicule : 3
  • Tome : 134
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 53B21, 53C24,94C15, 53A35, 58J40, 58J50
  • Pages : 327-355
  • DOI : 10.24033/bsmf.2512
Nous donnons ici deux résultats sur le déterminant $\zeta $-régularisé $\det _\zeta A$ d'un opérateur de Schrödinger $A=\Delta _g+V$ sur une variété compacte $\mathcal M $. Nous construisons, pour $\mathcal M =S^1 \times S^1$, une suite $(G_n,\rho _n, \Delta _n)$ où $G_n$ est un graphe fini qui se plonge dans $\mathcal M $ via $\rho _n$ de telle manière que $\rho _n(G_n)$ soit une triangulation de $\mathcal M $ et où $\Delta _n$ est un laplacien discret sur $G_n$ tel que pour tout potentiel $V$ sur $\mathcal M $, la suite de réels $\det (\Delta _n+V)$ converge après renormalisation vers $\det _\zeta (\Delta _g+V)$. Enfin, nous donnons sur toute variété riemannienne compacte $(\mathcal M ,g)$ de dimension inférieure ou égale à $3$ et de groupe d'isométries transitif, un majorant du déterminant $\det _\zeta (\Delta _g+V)$, lorsque le potentiel $V$ est positif.
We propose two results concerning the $\zeta $-regularised determinant $\det _\zeta A$ of a Schrödinger operator $A=\Delta _g+V$ on a compact riemannian manifold $(\mathcal M ,g)$. For $\mathcal M =S^1 \times S^1$, we construct a sequence $(G_n,\rho _n, \Delta _n)$ where $G_n$ is a finite graph injected in $\mathcal M $ via $\rho _n$, in such a way that $\rho _n(G_n)$ triangulates $\mathcal M $. $\Delta _n$ is a discrete laplacian on $G_n$ so that for every potential $V$ on $\mathcal M $, the sequence $\det (\Delta _n+V)$ converges, after normalisation, to $\det _\zeta (\Delta _g+V)$. Last, we give on every riemannian compact manifold $(\mathcal M ,g)$ whose dimension is less than or equal to $ 3$ and with a transitiv isometry group, the maximum of the determinant $\det _\zeta (\Delta _g+V)$.
Déterminant zeta-régularisé, théorie spectrale des graphes et des surfaces, discrétisation, fonction zeta, opérateur de Schrödinger, opérateurs pseudo-différentiels, géométrie riemannienne