La correspondance de Langlands locale $p$-adique pour $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ est une bijection entre certaines représentations de dimension $2$ de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p / \mathbf{Q}_p)$ et certaines représentations de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$. Cette bijection peut en fait être construite en utilisant la théorie des $(\varphi,\Gamma)$-modules et des résultats d'analyse $p$-adique. On déduit alors des propriétés de cette construction quelques
applications intéressantes en arithmétique.