SMF

L'enveloppe projective de certaines courbes dans $\mathbb {C}^2$

The projective hull of certain curves in $\mathbb {C}^2$

Reese Harvey, Blaine Lawson, John Wermer
  • Année : 2008
  • Tome : 322
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 30H05, 32Q99
  • Pages : 241-254
  • DOI : 10.24033/ast.805
L'enveloppe projective $\widehat X$ d'un compact $X\subset \mathbb P^n$ est l'analogue de l'enveloppe polynomiale ique d'un sous-ensemble de $\mathbb C^n$. Dans le cas particulier où $X\subset \mathbb C^n\subset \mathbb P^n$, la partie affine $\widehat X \cap \mathbb C^n$ peut être définie en tant qu'ensemble de points $x\in \mathbb C^n$ pour lesquels il existe une constante $M_x$ telle que $\big |p(x)\big | \leq M_x^d\sup _X|p|$ pour tous les polynômes $p$ de degré $\leq d$, et tout $d\geq 1$. Soit $\widehat X (M)$ l'ensemble de points $x$ où $M_x$ peut être choisi $\leq M$. En utilisant un argument d'E. Bishop, nous montrons que si $\gamma \subset \mathbb C^2$ est une courbe analytique réelle compacte (non nécessairement connexe), alors pour toute projection linéaire $\pi :\mathbb C^2\to \mathbb C$, l'ensemble $\widehat \gamma (M)\cap \pi ^{-1}(z)$ est fini pour presque tout $z\in \mathbb C$. Nous montrons alors que pour toute courbe analytique réelle compacte stable $\gamma \subset \mathbb P^n$, l'ensemble $\widehat \gamma -\gamma $ est une sous-variété de $\mathbb P^n-\gamma $ analytique complexe de dimension $1$. Nous discutons également en détail la régularité de la frontière de $\widehat \gamma $.
The projective hull $\widehat X$ of a compact set $X\subset \mathbb P^n$ is an analogue of the ical polynomial hull of a set in $\mathbb C^n$. In the special case that $X\subset \mathbb C^n\subset \mathbb P^n$, the affine part $\widehat X \cap \mathbb C^n$ can be defined as the set of points $x\in \mathbb C^n$ for which there exists a constant $M_x$ so that $\big |p(x)\big | \leq M_x^d\sup _X|p|$ for all polynomials $p$ of degree $\leq d$, and any $d\geq 1$. Let $\widehat X (M)$ be the set of points $x$ where $M_x$ can be chosen $\leq M$. Using an argument of E. Bishop, we show that if $\gamma \subset \mathbb C^2$ is a compact real analytic curve (not necessarily connected), then for any linear projection $\pi :\mathbb C^2\to \mathbb C$, the set $\widehat \gamma (M)\cap \pi ^{-1}(z)$ is finite for almost all $z\in \mathbb C$. It is then shown that for any compact stable real-analytic curve $\gamma \subset \mathbb P^n$, the set $\widehat \gamma -\gamma $ is a $1$-dimensional complex analytic subvariety of $\mathbb P^n-\gamma $. Boundary regularity for $\widehat \gamma $ is also discussed in detail.
Enveloppe projective, courbe analytique complexe
Projective hull, complex analytic curve
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