SMF

Mesure invariante et équirépartition dans les groupes compacts

Invariant measure and equidistribution in compact groups

Bruno Sévennec
  • Année : 2004
  • Tome : 18
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 22C05, 28C10, 11K36, 37A30, 01A60
  • Pages : 63-84
Dans cet article, on donne un survol de résultats d'équirépartition dans les groupes compacts, et plus généralement dans les espaces homogènes de tels groupes. Dans le premier chapitre, on reproduit la belle preuve de von Neumann sur l'existence et l'unicité de la mesure de Haar des groupes compacts, où l'on voit qu'elle est obtenue comme limite de mesures à support fini, qui « s'équirépartissent »selon la mesure de Haar. Dans le chapitre 2, on donne des exemples explicites d'équirépartition : le théorème de Weyl (1916) sur les rotations irrationnelles, celui d'Arnol'd et Krylov (1963) pour les rotations sur la sphère $\mathbb {S}^2$, et sa généralisation par Guivarc'h (1969). Le chapitre 3 concerne une mesure de la vitesse d'équirépartition des ensembles obtenus par composition d'un nombre fini d'isométries d'un espace métrique compact. C'est le « trou spectral »de l'opérateur de moyenne associé. Enfin le chapitre 4 passe d'abord en revue la construction, due à Lubotzky, Phillips et Sarnak (1986) de rotations de la sphère $\mathbb {S}^2$ avec trou spectral maximal. Après avoir évoqué l'application de ce résultat au problème de Ruziewicz, on discute d'une construction récente de familles de rotations ayant un trou spectral basée sur des arguments plus élémentaires (Gamburd, Jakobson, Sarnak 1999), et qui soulève des questions de type « approximation diophantienne »dans le groupe des rotations.
This paper surveys some equidistribution results in compact groups and their homogeneous spaces. The first chapter is devoted to von Neumann's beautiful proof of the existence and uniqueness of Haar's measure on compact groups, where one sees that it is obtained as a limit of “equidistributing” measures with finite supports. Some explicit examples are reviewed in chapter 2 : Weyl's theorem on irrational rotations (1916), Arnol'd and Krylov's (1963) concerning rotations of the sphere $\mathbb {S}^2$ and its generalization by Guivarc'h (1969). Chapter 3 is devoted to a quantity measuring the equidistribution speed of sets obtained by composing a finite number of isometries of a compact space, the “spectral gap” of the associated averaging operator. In the last chapter, one first reviews the construction by Lubotzy, Phillips and Sarnak (1986) of rotations of $\mathbb {S}^2$ with maximal spectral gap. The application of this result to Ruziewicz's problem is then sketched, before going to the recent construction of families of rotations with spectral gap by Gamburd, Jakobson, Sarnak (1999). It relies on more elementary methods than the previous one, and suggests questions of “diophantine approximation” type in rotations group.
Mesure de Haar, groupe compact, équirépartition, trou spectral
Haar measure, compact group, equidistribution, spectral gap