SMF

Renormalisation et ambiguïté galoisienne

Renormalisation and Galois Ambiguity

Alain CONNES
  • Année : 2004
  • Tome : 296
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : Primary 58B34; Secondary 81T15, 11R32
  • Pages : 113-143
  • DOI : 10.24033/ast.649

Cet article donne un exposé détaillé de mes résultats sur la renormalisation en collaboration avec D. Kreimer. Le premier résultat essentiel est l'identité entre le procédé récursif utilisé par les physiciens pour éliminer les divergences en théorie des champs quantiques et la décomposition de Birkhoff des lacets à valeurs dans un groupe pro-unipotent. Le groupe impliqué dans la renormalisation est celui des difféographismes, construit à partir des graphes de Feynman. Le deuxième résultat important est la construction d'une action de ce groupe des difféographismes sur les constantes de couplage sans dimension de la théorie physique. Le lien précis entre mon travail avec Kreimer et la correspondance de Riemann-Hilbert a été obtenu en collaboration avec M. Marcolli et est explicité à la fin de ce texte. Nous établissons une correspondance de Riemann-Hilbert entre connexions plates équisingulières et représentations d'un groupe de Galois « motivique »explicite $U^*$. Ce groupe joue dans le contexte de la renormalisation un rôle analogue à celui du tore exponentiel de Jean-Pierre Ramis dans la théorie locale des singularités irrégulières des équations différentielles et il apporte une réponse satisfaisante à la recherche proposée par P. Cartier d'un groupe de Galois « cosmique »qui sous-tend la renormalisation.

This paper contains a detailed exposition of my joint work with Kreimer on renormalization. The first key result is the identity between the recursive process used by physicists to remove the divergencies in quantum field theory and the Birkhoff decomposition of loops with values in a pro-unipotent Lie group. The relevant group for renormalization is the group of diffeographisms which is constructed from Feynman graphs. The second key result is the construction of an action of the group of diffeographisms on the dimensionless coupling constants of the theory. The precise link between my work with Kreimer and the Riemann-Hilbert correspondence was obtained in collaboration with M. Marcolli and is explained briefly at the end of the paper. We construct a Riemann-Hilbert correspondence between flat equisingular connections and representations of a specific motivic Galois group $U^*$. This group is the analogue in renormalization of the exponential torus of Ramis in the local theory of irregular singular differential equations. Our work gives a natural candidate for the « cosmic Galois group »envisaged by Cartier as the symmetry underlying renormalization.

Renormalisation, Galois, Hopf
Renormalization, Galois, Hopf
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