Sur la Ext-algèbre de Hecke du pro-$p$ Iwahori de ${\rm SL}_2(\mathbb Q_p)$
On the pro-$p$ Iwahori Hecke Ext-algebra of $SL_2(Q_p)$

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- Année : 2022
- Tome : 175
- Format : Papier, Électronique
- Langue de l'ouvrage :
Anglais - Class. Math. : 20C08, 22E50, 16E30, 20J06, 11F85
- Nb. de pages : 114
- ISBN : 978-2-85629-944-9
- ISSN : 0249-633-X; 2275-3230
- DOI : 10.24033/msmf.483
Soit $G={\rm SL}_2(\mathfrak F) $ où $\mathfrak F$ est une extension finite $\mathbb Q_p$. On suppose que le sous-groupe d'Iwahori $I$ de $G$ est un groupe de Poincaré de dimension $d$. Soit $k$ un corps contenant le corps résiduel de $\mathfrak F$.
Dans cet article, nous étudions la Ext-algèbre graduée $E^*=Ext_{Mod(G)}^*(k[G/I], k[G/I])$. Sa composante de degré zero est la $k$-algèbre de Hecke du pro-$p$ Iwahori $H$. Nous étudions le $H$-bimodule $E^d$ et déduisons que, étant donnée une $k$-représentation irréductible admissible lisse $V$ de $G$, on a $H^d(I, V)=0$ à moins que $V$ ne soit la représentation triviale.
Lorsque $\mathfrak F=\mathbb Q_p$ avec $p\geq 5$, on a $d=3$. Dans ce cas, nous décrivons le $H$-bimodule $E^*$ et la structure d'algèbre du centralisateur dans $E^*$ du centre de $H$. Nous en déduisons des résultats quant aux valeurs du foncteur qui attache à une $k$-représentation lisse (de longueur finie) $V$ de $G$ l'espace de $I$-cohomologie $H ^*(I, V)$. Nous montrons que $H^*(I,V)$ est toujours de dimension finie. De plus, si $V$ est irréductible, alors $V$ est supersingulière si et seulement si $H^*(I,V)$ est un module supersingulier.