Théorèmes limites temporels modifiés pour les rotations du cercle
Quenched and annealed temporal limit theorems for circle rotations
![Théorèmes limites temporels modifiés pour les rotations du cercle](https://smf.emath.fr/sites/default/files/styles/image_165x234/public/2020-06/smf_ast_59-85%20%28glisse%CC%81%28e%29s%29.jpg?itok=10cCZS4a)
Anglais
Soit $h(x)=\{x\}-\frac{1}{2}$. On étudie la distribution de $\sum_{k=0}^{n-1} h(x+k\alpha)$ pour $x$ fixé et $n$ tiré au hasard uniformément dans $\{1,\ldots,N\}$, quand $N\to\infty$. Beck a montré dans [2, 3] que pour $x=0$ et $\alpha$ irrationnel quadratique, ces distributions convergent, après un changement d'échelle approprié, vers une distribution gaussienne. Nous montrons que l'ensemble des $\alpha$ pour lesquels la distribution limite après changement d'échelle existe est de mesure de Lebesgue nulle, mais qu'on a le théorème limite modifié suivant : soit $(\alpha,n)$ choisi au hasard uniformément dans $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times\{1,\ldots,N\}$, alors la distribution de $\sum_{k=0}^{n-1} h(k\alpha)$ converge après un changement d'échelle approprié quand $N\to\infty$ vers la distribution de Cauchy.