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Théorèmes limites temporels modifiés pour les rotations du cercle

Quenched and annealed temporal limit theorems for circle rotations

Dmitry DOLGOPYAT, Omri SARIG
Théorèmes limites temporels modifiés pour les rotations du cercle
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  • Année : 2020
  • Tome : 415
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37D25, 37D35
  • Pages : 59-85
  • DOI : 10.24033/ast.1100

Soit $h(x)=\{x\}-\frac{1}{2}$. On étudie la distribution de $\sum_{k=0}^{n-1} h(x+k\alpha)$ pour  $x$ fixé et $n$  tiré au hasard uniformément dans $\{1,\ldots,N\}$, quand $N\to\infty$. Beck a montré dans [2, 3] que pour  $x=0$ et $\alpha$ irrationnel quadratique, ces distributions convergent, après un changement d'échelle approprié,  vers une distribution  gaussienne. Nous montrons que l'ensemble des  $\alpha$ pour lesquels la distribution limite après changement d'échelle existe est de mesure de Lebesgue nulle, mais qu'on a le théorème limite modifié suivant : soit  $(\alpha,n)$ choisi au hasard uniformément dans  $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times\{1,\ldots,N\}$, alors la distribution de  $\sum_{k=0}^{n-1} h(k\alpha)$ converge après un changement d'échelle approprié quand  $N\to\infty$ vers la distribution de Cauchy.

Let~$h(x)=\{x\}-\frac{1}{2}$. We study the  distribution of~$\sum_{k=0}^{n-1} h(x+k\alpha)$ when $x$~is fixed, and $n$~is sampled randomly uniformly in~$\{1,\ldots,N\}$, as~$N\to\infty$. Beck proved in \cite{Beck-Giant-Leap-1, Beck-Giant-Leap-2}that if $x=0$ and $\alpha$~is a quadratic irrational, then these distributions converge, after proper scaling, to the Gaussian distribution. We show that the set of~$\alpha$ where a distributional scaling limit exists has  Lebesgue measure zero, but that the following {\em annealed} limit theorem holds: Let $(\alpha,n)$~be chosen randomly uniformly in~$\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times\{1,\ldots,N\}$, then the distribution of~$\sum_{k=0}^{n-1} h(k\alpha)$ converges after proper scaling as~$N\to\infty$ to the Cauchy distribution.

 

Distribution uniforme, théorèmes limites pour les moyennes temporelles, rotations du cercle, théorèmes limites "annealed", distribution de Cauchy
Uniform distribution, temporal distributional limit theorems, circle rotations, annealed limit theorems, Cauchy distribution
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