Soit $h(x)=\{x\}-\frac{1}{2}$. On étudie la distribution de $\sum_{k=0}^{n-1} h(x+k\alpha)$ pour  $x$ fixé et $n$  tiré au hasard uniformément dans $\{1,\ldots,N\}$, quand $N\to\infty$. Beck a montré dans [2, 3] que pour  $x=0$ et $\alpha$ irrationnel quadratique, ces distributions convergent, après un changement d'échelle approprié,  vers une distribution  gaussienne. Nous montrons que l'ensemble des  $\alpha$ pour lesquels la distribution limite après changement d'échelle existe est de mesure de Lebesgue nulle, mais qu'on a le théorème limite modifié suivant : soit  $(\alpha,n)$ choisi au hasard uniformément dans  $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times\{1,\ldots,N\}$, alors la distribution de  $\sum_{k=0}^{n-1} h(k\alpha)$ converge après un changement d'échelle approprié quand  $N\to\infty$ vers la distribution de Cauchy.