Pour toute variété lisse $M$, le fibré $\mathbb {T}M =TM\oplus T^*M$ est muni d'un produit scalaire naturel défini par la dualité entre vecteurs et co-vecteurs. Les formes différentielles sur $M$ sont des spineurs pour le fibré de Clifford correspondant. On définit alors les spineurs purs. Dans cet article, nous étudions les spineurs purs et les structures de Dirac dans le cas où $M$ est un groupe de Lie $G$ muni d'une métrique pseudo-riemannienne bi-invariante, par exemple un groupe semi-simple. Comme applications de notre théorie, nous définissons une forme volume distinguée sur les es de conjugaison de $G$, et nous proposons une nouvelle approche de la théorie des $G$-espaces quasi-hamiltoniens.