On démontre la conjecture de Breuil concernant la réduction modulo $p$ des représentations triangulines $V$ et des représentations $\Pi (V)$ de $\operatorname {GL}_2(\mathbf {Q}_p)$ qui leur sont associées par la correspondance de Langlands $p$-adique. L'ingrédient principal de la démonstration est l'étude de certaines représentations lisses irréductibles de $\operatorname {B}(\mathbf {Q}_p)$ via des modèles construits en utilisant les $(\varphi ,\Gamma )$-modules.